Media

Le principali medie sono

• la media aritmetica,
• la media geometrica e
• la media armonica,

• sia semplici
• che ponderate

Table of contents

1 Media aritmetica 1.1 Media aritmetica semplice 1.1.1 Formule 1.1.2 Caratteristiche 1.1.3 Esempi 1.1.4 Facendosi aiutare da un software 1.2 Media aritmetica ponderata 1.2.5 Formula e calcoli 1.2.6 Facendosi aiutare da un software 2 Media geometrica 2.3 Caratteristiche e limiti 2.4 Media geometrica semplice 2.4.7 Formula 2.4.8 Esempi 2.4.9 Facendosi aiutare da un software 2.5 Media geometrica ponderata 3 Media armonica 3.6 Esempi 3.6.10 Facendosi aiutare da un software 4 Definizione integrale

Media aritmetica

Media aritmetica semplice

Detto in modo molto semplice, la media aritmetica semplice è ... la media, così come viene intesa comunemente.

Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi con il numero complessivo di valori.

Formule

La formula della media aritmetica semplice è:

ovvero, utilizzano il simbolo della sommatoria:

Caratteristiche

La media, come tutti gli indici di posizione, ci dice all'incirca l'ordine di grandezza (la posizione sulla scala dei numeri, appunto) dei valori esistenti.

In particolare dice che: se abbiamo N valori, con media M_a, allora per conoscere la somma di tutti questi valori è sufficiente moltiplicare N con M_a. Ci permette così di avere un'idea della quantità complessiva conoscendo soltanto il valore medio e quanti valori ci sono.

Che si tratta di un indicatore di posizione lo si verifica facilmente, in quanto se aggiungiamo a tutti i valori una stessa quantità allora la media è anch'essa aumentata di quella stessa quantità. Inoltre, se moltiplichiamo tutti i valori con un determinato numero, allora anche la media aritmetica viene moltiplicata con tale numero.

Esempi

Problema: Abbiamo cinque bambini: Alessandro, Beatrice, Carmelo, Davide e Esmeralda. Alessandro ha 5(!) cioccolate, Beatrice e Davide una sola, mentre Carmelo ed Esmeralda hanno ciascuno due cioccolate. Domanda: mediamente, quante cioccolate hanno i cinque bambini? .

Soluzione: I 5 bambini hanno (in ordine alfabetico) 5, 1, 2, 1 e 2 cioccolate. Dunque:

media = (5 + 1 + 2 + 1 + 2) / 5 = 11 / 5 = 2,2

Perciò possiamo dire che mediamente i cinque bambini hanno 2,2 cioccolate ciascuno e messi insieme ne hanno 11.

È vero che in realtà nessuno dei cinque bambini ha 2,2 cioccolate: o ne hanno di più (beati loro) o ne hanno di meno. Scopriamo però che se anche Monica, Nando, Ottavio e Pinuccia hanno mediamente 2,5 cioccolate a testa, allora il primo gruppo di bambini ha complessivamente più cioccolate del secondo (ma i bambini del secondo gruppo sono pi` contenti).

Infatti 2,5·4 = 10 è più piccolo di 11.

Altro esempio: Abbiamo 5 sacchetti di castagne che pesano mediamente 200 grammi. Moltiplicando 200gr con 5, otteniamo che stiamo tenendo in mano un kilo di castagne. Non sappiamo però se tutti i sacchetti sono di circa 200gr. Potrebbe anche darsi che ce ne sia uno da mezzo chilo, uno da due etti e tre da un etto. Non lo possiamo sapere conoscendo soltanto la media.

E se i bambini da rendere felici sono i nove di prima, allora ciascuno riceverà mediamente 110gr di castagne. Se sono crude sono troppe, se sono arrosto temo che siano poche.

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media aritmetica semplice nel seguente modo:

x <- c(5,1,2,1,2)
N <- length(x)
Ma <-  sum(x) / N
print(Ma)           # risultato: 2.2

x <- c(5,1,2,1,2) 
Ma <- mean(x)
print(Ma)           # risultato: 2.2

print(mean(x+100))  # risultato: 102.2 
print(mean(x*100))  # risultato: 220

Formula e calcoli

La formula generale è

M_a,pond = ∑ x_i·f_i / ∑ f_i

dove f_i è il peso assegnato al valore identificato con i

È abitudine, quando si fanno i calcoli a mano, di prepararsi una piccola tabella:

Calcoli per la media aritmetica ponderata

i	xi	fi	xi·fi
1	1	2	2
2	2	2	4
3	5	1	5
∑		5	11

Ricaviamo dalla tabella che: ∑ x_i·f_i = 11 e ∑ f_i = 5 cosicché la media aritmetica ponderata è pari a 11/5=2,2.

Il fatto che si ottenga lo stesso risultato dell'esercizio precedente non è un caso, in quanto la media ponderata viene usata spesso dopo aver raggruppato tutti i valori trovati in giro, in quanto ci sono meno calcoli da fare, ovvero la stessa tabella riassuntiva può essere riciclata per disegnare istogrammi.

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media aritmetica ponderata nel seguente modo:

x <- c(1,2,5)
f <- c(2,2,1)
Ma.pond <- sum(x*f) / sum(f)
print(Ma.pond)

x <- c(1,2,5)
f <- c(2,2,1)
Ma.pond <-  weighted.mean(x,f)
print(Ma.pond)

Caratteristiche e limiti

Il principale limite è che non si possono usare valori negativi. Una caratteristica è che valori piccoli (rispetto alla media geometrica) sono molto più importanti che valori grandi. In particolare, è sufficiente la presenza di un unico valore nullo, per rendere nulla la media, sia quella semplice che quella ponderata.

Media geometrica semplice

Formula

Esempi

Negli ultimi cinque anni sono stati rilevati i seguenti tassi d'inflazione: 3,2% per il 1997, 2,7% (1998), 2,8% (1999), 2,2% (2000) e 3,2% (2001).

Trattandosi di valori relativi e percentuali, li trasformiamo anzitutto dividendo con 100 e poi sommando loro 1. Otteniamo così per gli ultimi cinque anni degli indici dei prezzi (base=1996) pari a: 1,032 1,027 1,028 1,022 1,032.

Moltiplicando tra di loro questi cinque valori otteniamo

∏x_i = 1,149142

Facendo la quinta radice (a questo punto deve saltar fuori o una calcolatrice che sa fare queste operazioni oppure un software, che può essere sia un foglio elettronico o, meglio ancora, un applicativo come R]), si ottiene

Mg = ⁵√1,149142 = 1,028193

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media geometrica semplice nel seguente modo:

x <- c(1.032, 1.027, 1.028, 1.022, 1.032)
N <- 5
Mg <- prod(x)^(1/N)
print(Mg)

x <- c(3.2, 2.7, 2.8, 2.2, 3.2)
N <- 5
Mg <- prod(x/100 + 1)^(1/N)
print((Mg-1)*100)

Mg,pond = ∑fi√( ∏xi·fi / ∑fi )

Esempi

Sia il tratto A che il tratto B sono lunghi 120 km. Percorrendo il primo tratto a 120 km/h ci impieghiamo 1 ora, per fare il secondo tratto a 10 km/h ci impieghiamo 12(dodici!) ore. Complessivamente ci impieghiamo 13 ore, percorrendo così l'intero percorso ad una media di 240km/13h = 18,46 km/h.

Utilizzano la media armonica otteniamo lo stesso risultato:

Mh = 2 / (1/120 + 1/10) 
   = 2 / (0,00833 + 0,1) 
   = 2 / 0,10833 
   = 18,46

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media armonica semplice nel seguente modo:

v <- c(120,10)
Mh <- 1 / mean(1/v)
print(Mh)

.

Più in generale data una funzione dove è un insieme sul quale è definita una funzione di integrazione, si definisce la media come:

.